[ Pobierz całość w formacie PDF ]
matma235@o2.pl
x2 - x - 2
"= (-1)2 - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9
" "
" = 9 = 3
-(-1) - 3 1 - 3 -2
spis treści x1= = = = -1
2 · 1 2 2
wzory
-(-1) + 3 1 + 3 4
symbole
x2= = = = 2
2 · 1 2 2
komentarze
postać iloczynowa: x - (-1) (x - 2) = (x + 1)(x - 2)
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz granice:
x4 - 1
lim
x’!1 - 1
x
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Jeżeli za x podstawimy 1 to otrzymamy wyrażenie nieoznaczone
Liczymy inaczej:
wzory
symbole
x4 - 1 (x2)2 - 1 (x2 - 1)(x2 + 1)
=
lim = lim lim =
komentarze
x’!1 - 1 x x
x’!1 - 1
x’!1 - 1
x
(x
- 1)(x + 1)(x2 + 1)
=
lim = lim(x + 1)(x2 + 1) =
x’!1 x’!1
x - 1
= (1 + 1)(12 + 1) = 2 · 2 = 4
mymailtome
matma235@o2.pl
Definicja pochodnej funkcji
Jeżeli istnieje skończona granica
f(x0 + h) - f(x0)
f (x0) = lim
x’!0
h
spis treści
to nazwywamy jÄ… pochodnÄ… funkcji w punkcje x0.
wzory
symbole
Określenie, funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0, oznacza, że funkcja ma pochodną w
komentarze punkcie x0.
mymailtome
matma235@o2.pl
Pochodna funkcji
KorzystajÄ…c z definicji, oblicz pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0
f(x) = 4x x0 = 3 f(x) = 3x2 + 4 x0 = 5
"
3
f(x) = x0 = 4 f(x) = x x0 = 1
x+2
spis treści
Oblicz pochodnÄ… funkcji:
wzory
f(x) = 5x f(x) = x4
symbole
f(x) = 3x7 f(x) = 5x - 3
komentarze
f(x) = x5 + x2 + 4 f(x) = 6x4 - 3x2 + 5x
"
"
3
f(x) = 3 x f(x) = x2
"
2 4
f(x) = f(x) = + x
x3 x
Oblicz pochodnÄ… funkcji:
x 3x+4 x2-2x
f(x) = f(x) = f(x) =
x+3 2x-1 x3
mymailtome
matma235@o2.pl
Proste pochodne
Wzory: Przykłady:
(c) = 0 (2) = 0
(100) = 0
spis treści
wzory
(ax) = a (x) = 1
symbole
(3x) = 3
komentarze
(xn) = nxn-1 (x3) = 3x2
(x5) = 5x4
a
1
a
1
= - = -
x x2
x x2
3
3
= -
x x2
mymailtome
"
1
x = "
matma235@o2.pl
2 x
Działania na pochodnych
Wzory: Przykłady:
=
(f + g) = f + g (x2 + x3) = (x2) + (x3) 2x + 3x2
spis treści
=
(f - g) = f - g (x4 - x) = (x4) - (x) 4x3 - 1
wzory
symbole
(c · f) = c · f (5x3) = 5 · (x3) = 5 · 3x2 = 15x2
komentarze
" " "
(f · g) = f g + fg (x2 x) = (x2) x + x2( x) =
"
1
= "
2x x + x2 · =
2 x
"
x2
= 2x x + "
2 x
mymailtome
" "
f f g - fg x2 (x2) x - x2( x)
matma235@o2.pl
= " = " =
g g2 x ( x)2
"
"
2x x - x2 1
2 x
=
=
x
"
1
"
x(2 x - x )
"
x
2 x
= = 2 x - "
x 2 x
KorzystajÄ…c z definicji, oblicz pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0
f(x) = 4 x0 = 3
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Definicja pochodnej
wzory
f(3) = 4 · 3 = 12
symbole
f(3 + h) = 4 · (3 + h) = 12 + 4h
komentarze
f(3 + h) - f(3) 12 + 4h - 12 4h
= =
f (3) lim = lim = lim 4
h’!0 h h’!0 h h’!0 h
mymailtome
matma235@o2.pl
KorzystajÄ…c z definicji, oblicz pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0
f(x) = 3x2 + 4 x0 = 5
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Definicja pochodnej
wzory
f(5) = 3 · 52 + 4 = 3 · 25 + 4 = 79
symbole
komentarze =
f(5 + h) = 3 · (5 + h)2 + 4 3(25 + 10h + h2) + 4 =
= 75 + 30h + 3h2 + 4 = 79 + 30h + 3h2
f(5 + h) - f(5) 79 + 30h + 3h2 - 79 h(30 + 3h)
=
f (3) lim = lim = lim =
h’!0 h h’!0 h h’!0 h
=
= lim (30 + 3h) 30 + 3 · 0 = 30
h’!0
mymailtome
matma235@o2.pl
KorzystajÄ…c z definicji, oblicz pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0
3
f(x) = x0 = 4
x + 2
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Definicja pochodnej
wzory
3 3 1
symbole
f(4) = = =
4+2 6 2
komentarze
3 3
f(4 + h) = =
4+h+2 6+h
6 6+h
3 1
-
-
f(4 + h) - f(4)
2(6+h) 2(6+h)
6+h 2
=
f (4) lim = lim = lim =
h’!0 h h’!0 h h’!0 h
6 - 6 - h 1 -h 1 -1
= lim · = lim · = lim =
h’!0 2(6 + h) h 2(6 + h) h 2(6 + h)
h’!0 h’!0
mymailtome
-1 1
matma235@o2.pl
=
= -
2(6 + 0) 12
KorzystajÄ…c z definicji, oblicz pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0
"
f(x) = x x0 = 1
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Definicja pochodnej
"
wzory
f(1) = 1 = 1
symbole
"
f(1 + h) = 1 + h
komentarze
"
f(1 + h) - f(1) 1 + h - 1
=
f (1) lim = lim =
h’!0 h h’!0 h
" " "
( 1 + h - 1)( 1 + h + 1) ( 1 + h)2 - 12
= lim " = " =
lim
h’!0 h’!0
h( 1 + h + 1) h( 1 + h + 1)
mymailtome
1 + h - 1 h 1
= lim " = lim " = lim " =
matma235@o2.pl
h’!0 h’!0 h’!0
h( 1 + h + 1) h( 1 + h + 1) 1 + h + 1
1 1
= " =
2
1 + 0 + 1
Oblicz pochodnÄ… funkcji
f(x) = 5x
RozwiÄ…zanie:
spis treści
=
f (x) = (5x) 5
wzory
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz pochodnÄ… funkcji
f(x) = x4
RozwiÄ…zanie:
spis treści
=
f (x) = (x4) 4x3
wzory
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz pochodnÄ… funkcji
f(x) = 3x7
RozwiÄ…zanie:
spis treści
=
f (x) = (3x7) = 3(x7) 3 · 7x6 = 21x6
wzory
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz pochodnÄ… funkcji
f(x) = 5x - 3
RozwiÄ…zanie:
spis treści
=
f (x) = (5x - 3) = (5x) - (3) 5 - 0 = 5
wzory
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz pochodnÄ… funkcji
f(x) = x5 + x2 + 4
RozwiÄ…zanie:
spis treści
= =
wzory f (x) = (x5 + x2 + 4) (x5) + (x2) + (4) 5x4 + 2x + 0 = 5x4 + 2x
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz pochodnÄ… funkcji
f(x) = 6x4 - 3x2 + 5x
RozwiÄ…zanie:
spis treści
wzory =
f (x) = (6x4 - 3x2 + 5x) (6x4) - (3x2) + (5x) =
symbole
= - 3(x2) + 5(x) 6 · 4x3 - 3 · 2x + 5 · 1 = 24x3 - 6x + 5
=
6(x4)
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz pochodnÄ… funkcji
"
f(x) = 3 x
RozwiÄ…zanie:
" "
spis treści 1 3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]